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La vitesse ascensionnelle

Calcul de la vitesse d’ascension

Faisons le bilan à l’instant t :

  • Pa = ρVg : poussée d’Archimède
    • ρ : masse volumique de l’air
    • V : Volume de gonflage du ballon
    • g : attraction terrestre 9,8066 N/kg
  • R= 1/2ρSCxv² : Résistance de l’air ou trainée du ballon
    • S : maitre couple du ballon
    • Cx : Coefficient aérodynamique de forme (0,5 pour une sphère)
    • v² : vitesse ascensionnelle
  • P = mg : Poids total de la chaine de vol et de l’hélium.

D’où :

On sait aussi, d’après la relation fondamentale de la dynamique que :

  • m = masse totale (masse de la chaine de vol + masse de l’hélium)
  • γ = accélération du ballon  =  dv/dt. L’accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps.

En remplaçant par les valeurs on obtient une équation différentielle.

Cette équation est de la forme y’ = - ay² + b avec :

Elle admet une solution de la forme :

Le mouvement pris par le ballon est d’abord uniformément accéléré, avec une résistance de l’air nulle. Au fur et à mesure du décollage, la résistance de l’air grandit pour atteindre son maximum. C’est alors que le ballon atteint une vitesse limite et que l’accélération devient nulle.

Lorsque T tend vers l'infini,  alors la vitesse atteint la limite de la fonction y qui est :

Le mouvement est ensuite uniforme avec une vitesse constante, égale à cette vitesse limite.

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